Orden en el rebaño

Han pensado alguna vez qué les hace aplaudir más o menos deprisa tras un buen concierto? ¿Somos los seres humanos, incluso en las situaciones que más nos diferencian de lo inanimado, igual de predecibles, igual de conmensurables? ¿Tiene nuestro comportamiento gregario algo que ver con la coherencia de los láseres o los latidos del corazón? Redundando en anteriores mensajes, ¿tenemos una inevitable tendencia a autoorganizarmos como cualquier rebaño de seres inferiores

Christiaan Huygens (1629 – 1695) tenía en una pared de su dormitorio dos relojes de péndulo de su propia invención. En febrero de 1665, convaleciente de gripe en su camastro, pudo comprobar como ambos péndulos oscilaban perfectamente sincronizados, algo que tiene una probabilidad muy baja de ocurrir al azar. Huygens, con esa intuición de los clásicos que la evolución y la era tecnológica nos ha ido menoscabando, pensó que las vibraciones se transmitían por la pared donde ambos relojes estaban colgados y les hacía oscilar a la vez. Colocó uno de los relojes en el otro extremo de la habitación y al poco tiempo ambos se desincronizaron. El acoplamiento de los relojes a través de la pared generaba la sincronía o sincronización entre ellos.

Imaginemos un grupo de corredores en una pista circular. Algunos corren rápido, tienen frecuencias altas, y otros lo hacen despacio. Si todos deciden correr juntos para mantener una conversación, los rápidos empezaran a ir más despacio y los lentos un poquito más deprisa, hasta que todos llegan a un compromiso de frecuencia y ajustan todas sus velocidades. Ese compromiso, en este caso consciente, se produce en muchos sistemas naturales de forma espontánea.

Sin embargo, en muchas situaciones, parece que también nosotros de forma inconsciente escogemos comportarnos como un rebaño. En el año 2000, un grupo de físicos encabezados por el célebre Albert-László Barabási, de la Universidad de Notre Dame en Indiana, se dedicaron a estudiar la dinámica de los aplausos. El proyecto comenzó en Rumania, colgando micrófonos del techo de salas de concierto y grabando los aplausos. Después analizaron las cintas y hallaron un patrón bastante constante: varias tandas de aplausos sincronizados (hasta seis o siete) eran seguidas de una cacofonía incoherente. Además, los períodos entre una y otra se duplicaban durante la sincronización.

barabasi

 En la figura pueden observarse sus resultados. En la parte a) se ve la intensidad total del sonido de los aplausos, con la aparición y desaparición de regiones con comportamiento sincronizado (oscilaciones). La curva roja en b) corresponde a un micrófono oculto para un solo espectador, que sigue de forma casi idéntica el ruido global de toda la sala. La curva verde en c) muestra el grado de sincronía entre todos los espectadores, muy alta en la zona periódica, de forma que la curva azul en d), que muestra el nivel de ruido, muy bajo cuando todos los espectadores aplauden al mismo ritmo. Por último, se puede ver en e) que incluso la fase de ruido caótico está relacionada con la fase sincronizada, dado que la frecuencia de ésta es la mitad de la otra.

 Es decir, y fíjense la próxima vez que tengan la oportunidad, durante cierto tiempo cada espectador aplaude a su manera hasta que en un momento determinado todos se sincronizan con una frecuencia de aplauso muy característica. Pasado un tiempo, y dado que esa frecuencia nos parece poco premio para el espectáculo, aceleramos el ritmo de aplauso a una frecuencia el doble de la anterior, pero en este caso no somos capaces de hacerlo sincrónicamente con el resto de espectadores. Y así sucesivamente, e inconscientemente.

Con respecto a las oleadas de aplausos caóticos que interrumpen periódicamente la sincronía, Barabási y Vicsek, dos de los autores, creen que se relacionan con la psicología de las multitudes. Cuando se logra la sincronía, el ruido conjunto de los aplausos disminuye; cuando desaparece, el nivel de ruido aumenta. Su conclusión es que la sincronía crea una sensación acomodaticia de colectividad, mientras que los aplausos rápidos son más entusiastas.

Puede parecer un poco excéntrico el dedicarse a investigar estas cosas. Pero el grupo de Barabási ha hecho contribuciones excelentes, dentro del mismo marco teórico, a problemas relevantes en física estadística y sobre todo en biología. Aunque parezca una leyenda urbana, los periodos menstruales de mujeres compartiendo mucho tiempo bajo ciertas condiciones pueden sincronizarse y existen modelos matemáticos que lo explican. El tejido cardíaco está constituido por miles de células musculares capaces de oscilar. Cada una de ellas con su propia frecuencia de oscilación, como ocurría con los relojes de Huygens. Pero gracias a que están acopladas logran prodigiosamente sincronizar sus oscilaciones, hasta el extremo de que podemos escuchar su oscilación colectiva como un latido bien definido. Lo interesante es que en el tejido cardíaco no existe una célula líder que marque el ritmo a todas las demás. Si fuera así, el malfuncionamiento o la muerte de esta célula jefe significaría un paro cardíaco fatal. La evolución ha optado por un sistema democrático, distribuido: ninguna célula lidera el proceso, los latidos son un resultado colectivo, la auto-organización del conjunto por el acoplamiento de osciladores. Barabási también ha aplicado estas ideas al estudio de cómo las redes biológicas toleran los cambios en las señales externas, demostrando por qué son tan robustas. El número de problemas en biología y sociología en los que todas estas ideas comienzan a aplicarse no para de crecer.

 Y vayamos con algo de moraleja. Según comenta el propio Barabási, en cierta época en países como Hungría y Rumania abundaban los camaradas y no había lugar para la exuberancia. Entonces era imposible escuchar las oscilaciones de la sincronía al caos. En los mítines políticos de su infancia, en la Rumania comunista del régimen tiránico de Ceaucescu, los públicos aplaudían los discursos partidistas del “gran líder” sincrónicamente, de una manera monótona y sumisa. No había entusiasmo que condujera esos aplausos al caos.

Pero un día de fines de diciembre de 1989, la sincronía cesó. “Ceausescu había organizado una gigantesca manifestación de 250.000 personas en Bucarest para probar que contaba con el apoyo del puebló”, recuerda Barabási. “Se esperaba que la gente aplaudiera rítmicamente, y así lo hizo al principio. Pero después los aplausos cesaron. Algunos arrojaron sus pancartas, comenzaron los disparos; y con ellos, la revolución”. Cuatro días más tarde, el Día de Navidad, Ceausescu era fusilado.

Algo no tan grave, pero al menos cierto castigo, debe recibir todo aquel que busque el aplauso fácil. Afortunadamente, no somos del todo predecibles.

Fuentes: http://www.ecuadorciencia.org/, http://matap.dmae.upm.es/

¿Conoces a Kevin Bacon?

Yo no le conozco, pero estoy más cerca de lo que, aparentemente, podría parecer. De hecho eso también se aplica para tí, querido lector. Las mencionadas interacciones humanas, tan intangibles a veces, tan dependientes de nuestras propias elecciones (es posible que sea lo único que podemos elegir a lo largo de nuestra vida), parecen al final responder como tantas otras cosas a patrones matemáticos. De hecho, lo que los estudios que comentaremos aquí nos muestran es que, usted y yo, querido lector, estamos como mucho a seis personas conocidas de distancia, aunque yo esté en Madrid y usted en Kamchatka.

Small-world networks. Pequeños mundos. Así se conoce esta estructura matemática, en cierto modo relacionada con los fractales comentados anteriormente. “Tener contactos” es una expresión utilizada habitualmente para aquellas personas que se suponen bien relacionadas, con una agenda extensa. Esto es lo que podríamos denominar, en la red de las interacciones humanas, como un nodo principal. La existencia de este tipo de nodos muy conectados es lo que confiere a la red de una estructura autosimilar, fractal, sin escalas preferentes. Lo cual en la práctica supone que los demás miembros de la red están, de alguna forma,  más cerca de los otros gracias a estos nodos principales.

Un ejemplo curioso, anunciado en el título, es la red de actores de Hollywood. Si generamos una red en la cual cada nodo sea un actor, del cual salga un enlace hacia aquellos nodos correspondientes a los actores con lo que ha trabajado en alguna película, la red resultante tiene las propiedades de un pequeño mundo. Durante bastante tiempo, el centro del universo de Hollywood ha estado ocupado por Kevin Bacon, el actor que según los cálculos estaba mejor conectado entre sus colegas. Sin embargo, un estudio reciente le ha quitado dicho privilegio en favor de Christopher Lee (curiosamente, ambos actores han trabajado con Julius LeFlore, por lo que la distancia entre ambos en el pequeño mundo de Hollywood es igual a 2).

hollywood small world

La población mundial superó los 6000 millones el 12 de Octubre de 1999. Y a pesar de ello, el mundo es más pequeño de lo que imaginamos. La teoría de los “seis grados de separación” afirma que cada uno de nosotros está ligado a cualquier otra persona de la tierra por una cadena que, en promedio, tiene seis eslabones o nodos. Veamos como podríamos entender esta curiosa estructura.

Los científicos Pool y Kochen examinaron la vida de 27 personas y estimaron el número de individuos que habían conocido en 100 días (¿cuántas has conocido tú?). Los resultados oscilaron entre 500 y 1500 personas, digamos 1000 en promedio. Muchos de estos contactos fueron leves por lo que parecería difícil utilizarlos posteriormente para conseguir más contactos.

Sin embargo, supongamos ahora que conocemos a 100 personas, las cuales conocen a su vez 50 que tú no conoces. Y así sucesivamente. Si se hace esto 6 veces, se obtendría una población mundial de 31.000 millones de personas, por lo que seis contactos deben ser más que suficientes para tejer una red de contactos a nivel mundial. El problema lógico es que muchos de los amigos de nuestros amigos, también son amigos nuestros, por lo que esas cuentas pueden ser muy inexactas, y posiblemente sería difícil utilizando exclusivamente a nuestros amigos más cercanos enviar un mensaje mucho más allá de nuestro “pequeño mundo”.

El matemático Granovetter, en 1973, descubrió de hecho que son los enlaces débiles, esos encuentros ocasionales, esos “conocidos”, los que confieren a la red de relaciones humanas con esa curiosa propiedad de los “seis grados de separación”, gracias a la cual podemos sentirnos “cerca” de gente que a priori nos parecía inalcanzable. Otros investigadores, Watts y Strogatz, demostraron que solamente hace falta un ínfimo porcentaje de gente “viajada”, con algunos enlaces repartidos por puntos distantes del planeta, para que nuestro pequeño gran mundo esté completamente conectado.

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Hay muchos ejemplos de redes de este tipo. Sus propiedades matemáticas y estadísticas están bien estudiadas, y sus aplicaciones pueden ser interesantes en campos como el contagio de enfermedades, o en redes moleculares y genéticas. Se trata de otra forma curiosa de autoorganización de sistemas, que nos muestra que no siempre lo más óptimo es mantener los enlaces fuertes, sino dar cabida a interacciones débiles, ocasionales, que dotan al conjunto de una estructura global más favorable.

 Un experimento interesante (que puede encontrarse en la página http://www.small-world-network.com/) es el siguiente: escójase una persona al azar en el mundo, y pensemos en aquella persona, de todos nuestros contactos, que creemos podría estar más cerca de conocerla. Envíale un mail, y pídele que repita lo mismo escogiendo a aquel conocido suyo que estaría previsiblemente más cerca de conocerla (esto es un experimento social, no confundir con una de las muchas cadenas de correos que inundan nuestra bandeja de entrada). Se trata de intentar que la persona objetivo, por ejemplo en Hong-Kong, reciba finalmente el mensaje en el menor número de reenvíos posibles. La teoría dice que, en promedio, no harán falta más de 6.

El mundo es pequeño y está lleno de pequeños mundos, y las relaciones humanas son una red más densa y conectada de lo que podríamos imaginar. Es curioso y triste a la vez que, a veces, nos empeñemos en estar tan solos. La próxima vez que te presenten a alguien, imagina que posiblemente es el eslabón que te faltaba para encontrar a esa persona que tanto andas buscando…

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La Ciudad Fractal contra La Ciudad del Automovil

Sigamos auto-referenciando, casi siendo redundantes en ideas comentadas previamente, pero entrando en detalles. Existe a día de hoy bastante acuerdo en que la forma en que los objetos se auto-organizan, bien sean seres vivos o inertes, puede explicarse mediante algunas leyes matemáticas. Gracias a ello, han surgido multitud de disciplinas y conceptos matemáticos y físicos que se vienen aplicando en contextos que, a priori, parecen muy alejados unos de otros. Hablaremos de algunos de estos ejemplos en posteriores eslabones, y nos centramos aquí en uno concreto que nos permite referenciar las ideas de “caos” y “fractalidad” que Borges, Auster y otros autores han explorado de forma abstracta.Fractal de Koch

La palabra “fractal” significa “roto”, en oposición a “continuo”. En términos generales, un fractal

matemático posee estructura en todos sus niveles y es auto-semejante. ¿Cómo puedo construir un fractal? El fractal de von Koch, por ejemplo, puede ser construido a partir de un segmento que se divide en tres partes iguales. En el tercio central se rompe el segmento para formar un triángulo, de forma que ahora tenemos cuatro segmentos. Repitiendo este patrón un infinito número de veces para los cuatro segmentos que resultan, obtenemos una línea arrugada.

Este fractal matemático se repite hasta llegar a escalas infinitesimalmente pequeñas, y es autosemejante porque cualquier porción se convierte en el objeto original cuando se aumenta de tamaño. En fractales reales, este proceso siempre se detendrá en alguna de las escalas más pequeñas, de forma que las propiedades fractales se presentan entre una magnificación máxima y otra mínima. Para una buena introducción en internet, puede visitarse la página titulada “Explorig patterns in nature”.

De entre todas las aplicaciones que tiene la geometría fractal, comentamos aquí la que tiene que ver con las estructuras de las ciudades. Utilizar en el diseño líneas (y superficies) fractales puede ayudar a los urbanistas y diseñadores a alcanzar gran parte de sus objetivos. Por ejemplo, una frontera fractal facilita las interacciones humanas y puede ser permeada por vías peatonales. La primera propiedad de un fractal es la existencia de una estructura en todas las escalas. La auto-semejanza significa que partes de un fractal son similares a otras partes del fractal. La primera propiedad, especialmente, garantiza que se puedan usar elementos del concepto de fractal para mejorar la comprensión de la ciudad. De esta forma, se utilizan modernamente conceptos aplicados previamente a la comprensión de estructuras naturales para mejorar la estructura y conectividad de las ciudades, incluso su arquitectura.

ciudad no fractal

El movimiento anti-fractal del siglo XX comenzó como llamamiento a destruir el ornamento. El ornamento arquitectónico es una parte intrínseca de la ciudad en su conjunto, y destruyéndolo se destruye una parte de las escalas de la ciudad. Tal intervención elimina un nivel en la jerarquía urbana, las escalas que van desde 1 mm hasta 1 m. Poco después, los referentes urbanos –las estructuras que van desde 1 m hasta 3 m, como kioscos, bancos, pórticos, glorietas, paredes bajas para sentarse, etc.- fueron eliminadas. Por ciudad fractalúltimo vino la eliminación de los andenes y la conectividad vía peatonal entre edificios cercanos. Lo que quedó tan solo era apropiado para la ciudad del automóvil, no para el movimiento de los peatones. En los años 20 del siglo pasado era necesario acomodar al automóvil en la ciudad del siglo XIX, pero durante el proceso no era necesario destruir la ciudad del peatón.

Por lo que vemos, el tópico de “la naturaleza es sabia” sigue sin ponerse en práctica. Los objetos naturales han evolucionado hasta un estado de optimización de su estructura y sus conexiones con otros seres de forma que alcancen un mayor “bienestar”. Mientras, la optimización de nuestro entorno parece más encaminada a la optimización de la comunicación individual (el coche), que a la de las relaciones humanas. A pesar de ello y afortunadamente, parece que cualquier sistema que posea cierta capacidad de auto-organización tiende a desarrollarse de forma óptima, por mucho que nos empeñemos en lo contrario. Gracias a ello además, las matemáticas siguen describiendo apropiadamente lo “humano” y lo “natural”. Intentaremos en lo sucesivo hablar de ejemplos sacados de la naturaleza, a ver si aprendemos un poco.

Cardiff simulationCardiff DLA

[Simulación matemática del crecimiento de la ciudad de Cardiff. A la derecha imagen aérea de la ciudad]

La Ciudad de las Mil Ciudades

Vamos a continuar con una noticia que nos ha llamado la atención. Si ayer hablábamos de la “Ciudad del Mundo” de Paul Auster, ésta habla sobre La Ciudad de las Mil Ciudades.Se trata de un proyecto que se llevará a cabo en Corea del Sur para descongestionar su actual capital, Seúl, imitando la idea que llevó a Brasil a crear de la nada su actual capital, Brasilia, hace ahora 46 años. Se pretende así crear un flujo de población hacia zonas deshabitadas con el objetivo de distribuir una Andrés Pereapoblación aglomerada en grandes ciudades.

Lo curioso del proyecto, llevado a cabo por el equipo del arquitecto Andrés Perea , es la estructura que propone para la nueva capital administrativa:

“una especie de collar de unos 27 kilómetros de perímetro. Sus 25 cuentas serán núcleos urbanos con todos los equipamientos necesarios para 20.000 habitantes. La cuerda que los unirá está formada en realidad por dos autopistas Ciudad de las Mil Ciudadessubterráneas, una vía superficial y un ferrocarril metropolitano elevado (todos ellos superpuestos)”

Es decir, una especie de Ciudad de Ciudades que rodeará a una zona natural que se pretende conservar en lo posible. Además del aplauso que merece un proyecto arquitectónico con voluntad de minimizar el impacto medioambiental, llama la atención su estructura “molecular”, lejos de una agregación centralizada de construcciones. Pequeñas Ciudades dentro de una Ciudad.

Esta curiosidad no solamente vuelve a recordarnos la auto-referencia, sino que en próximos eslabones la retomaremos para constatar el hecho de que la propia naturaleza nos enseña mucho acerca de la estructura óptima de un objeto. La auto-referencia, la fractalidad, son conceptos que refieren a habilidades que la naturaleza lleva milenios utilizando para evolucionar, y que nosotros estamos aún en los albores de comprender plenamente.

Por nuestra parte, seguiremos auto-referenciándonos continuamente. Es la forma de construir una bitácora fractal.

La Ciudad del Mundo

Hay conceptos recurrentes, que parecen haber llamado (y aún lo hacen) la atención a distintas personas en distintos lugares y momentos. Al hilo del anterior relato de Borges, donde referencias a objetos muy similares al Aleph aparecen en la antigüedad, engarzamos otro eslabón con una adaptación libre de un extracto de “The music of chance” (La música del azar) del genial Paul Auster.

El único objeto en la habitación era una enorme plataforma en el centro, cubierta con lo que parecía ser una miniatura a escala de una ciudad. Era algo fabuloso de observar, con sus curiosas cúpulas y edificios, calles estrechas y figuras humanas microscópicas, y conforme los cuatro se acercaban a la plataforma, Nashe comenzó a reir, impresionado por algo tan singular y elaborado.

“Se llama la Ciudad del Mundo“, dijo Stone modestamente….”me gusta trabajar en ello…..Es como me gusta ver el mundo. Todo en él ocurre al mismo tiempo“…

“…es algo más que un simple juguete”, dijo Flower, “es una visión artística de la humanidad. En cierto modo, es una autobiografía, pero por otro lado es lo que llamarías una utopía, un lugar donde el pasado y el futuro van de la mano, donde el bien finalmente triunfa sobre el mal. Si te fijas bien, verás que muchas de las figuras representan en realidad al propio Willie…”

Nashe señaló una zona vacía y preguntó que planes tenían para esa sección.

“La casa donde estamos justo ahora”, dijo, “La casa y después los campos y bosques, por ahí a la derecha” – apuntando en la dirección de la esquina opuesta – “Pienso hacer un modelo separado de esta habitación. Debo estar en ella, por supuesto, lo que significa que debo construir otra Ciudad del Mundo. Una más pequeña, una segunda ciudad que se ajuste a la habitación dentro de la habitación”

“¿Quieres decir, un modelo del modelo?”, dijo Nashe.muñeca rusa

“Exacto, un modelo del modelo. Pero debo acabar todo antes. Sería el último elemento, algo a añadir justo al final”

“Pero si hicieras un modelo del modelo, teóricamente deberías hacer un modelo incluso más pequeño de ese modelo. Un modelo del modelo del modelo. Y así sin fin”.

“Así tendría que ser, pero supongo que no podré pasar de la segunda etapa. Me refiero al tiempo. Me ha llevado 5 años hacer esto. Me llevaría otros cinco acabar el primer modelo. Si el segundo es tan difícil como supongo, necesitaría otros 10 años, quizá 20. Tengo 56 años ahora….”

En esta novela, Auster se acerca más que nunca a esa bella mezcla de filosofía y conceptos matemáticos que apuntan a la comprensión del infinito, a la influencia del azar en el devenir de los acontecimientos, al caos. En todo esto sin duda hay reminiscencias de Borges, pero también de otros autores que podrían formar parte de próximos eslabones de esta cadena…

Tenemos ya en dos pasos bastantes elementos de esta bitácora, que se construirá de forma recurrente, autorreferenciando sus propios elementos. Como una Ciudad del Mundo, un Aleph, un fractal, una muñeca rusa…

Punto de partida: El Aleph

Queremos comenzar con un extracto de la obra que tomaremos como punto de partida de esta bitácora, “El Aleph” del maestro Jorge Luis  Borges:

Borges

-¡El Aleph! – repetí.

-Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos. A nadie revelé mi descubrimiento, pero volví. ¡El niño no podía comprender que le fuera deparado ese privilegio para que el hombre burilara el poema! No me despojarán Zunino y Zungri, no y mil veces no. Código en mano, el doctor Zunni probará que es inajenable mi Aleph.

Traté de razonar.

-Pero, ¿no es muy oscuro el sótano?

-La verdad no penetra un entendimiento rebelde. Si todos los lugares de la Tierra están en el Aleph, ahí estarán todas las luminarias, todas las lámparas, todos los veneros de luz.

-Iré a verlo inmediatamente.

Corté, antes de que pudiera emitir una prohibición…

… Te acuestas en el piso de la baldosas y fijas los ojos en el decimonono escalón de la pertinente escalera. Me voy, bajo la trampa y te quedas solo. Algún roedor te mete miedo ¡fácil empresa! A los pocos minutos ves el Aleph. ¡El microcosmo de alquimistas y cabalistas, nuestro concreto amigo proverbial, el multum in parvo!

… Cerró cautelosamente la trampa, la oscuridad, pese a una hendija que después distinguí, pudo parecerme total. Súbitamente comprendí mi peligro: me había dejado soterrar por un loco, luego de tomar un veneno. Las bravatas de Carlos transparentaban el íntimo terror de que yo no viera el prodigio; Carlos, para defender su delirio, para no saber que estaba loco tenía que matarme. Sentí un confuso malestar, que traté de atribuir a la rigidez, y no a la operación de un narcótico. Cerré los ojos, los abrí. Entonces vi el Aleph.

Arribo, ahora, al inefable centro de mi relato, empieza aquí, mi desesperación de escritor. Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y las circunferencia en ninguna; Ezequiel, de un ángel de cuatro caras que a un tiempo se dirige al Oriente y al Occidente, al Norte y al Sur. (No en vano rememoro esas inconcebibles analogías; alguna relación tienen con el Aleph.) Quizá los dioses no me negarían el hallazgo de una imagen equivalente, pero este informe quedaría contaminado de literatura, de falsedad. Por lo demás, el problema central es irresoluble: La enumeración, si quiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Frey Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer de pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemont Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplicaban sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osadura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la Chacarita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi propia sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible el alephuniverso…

… Dos observaciones quiero agregar: una sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Éste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicación al círculo de mi historia no parece casual. Para la Cábala esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad; también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes

..¿Existe ese Aleph en lo íntimo de una piedra? ¿Lo he visto cuando vi todas las cosas y lo he olvidado? Nuestra mente es porosa para el olvido; yo mismo estoy falseando y perdiendo, bajo la trágica erosión de los años, los rasgos de Beatriz.”
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Partamos por tanto de aquí, de un punto de encuentro donde cabe cualquier otro punto de encuentro; un diario en el que están todos los diarios; es decir, un idea donde están todas las ideas. En forma de espiral, de fractal, de conocimiento encadenado, donde todo está relacionado con todo. Pasemos al siguiente eslabón…